Exercícios de Esfera

1 Determine o volume e a área da superfície esférica de uma esfera de raio 10 cm.
Resolução:
π π
= ⇒ =
3
4. .10 4000 3 3
V cm V cm
3 3
= π ⇒ = π
2 2 2
A 4. .10 cm A 400 cm²



2 Calcule a área do círculo determinado por uma
secção esférica  feita a 5 cm do centro de uma esfera de raio 13cm.
Resolução:
13
r
5
Pelo Teorema de Pitágoras, temos:
= + ⇒ =
2 2 2
13 5 r r 12 .
Logo, a área da secção é dada por
= π =
2 2 2
A .12 cm 144cm²




3- Uma laranja tem a forma de uma esfera, cujo di-
âmetro mede 8cm. Então a área aproximada da
casca dessa laranja é:
a) 190cm
2
.
b) 200cm
2
.
c) 210cm
2
.
d) 220cm
2
.
e) 230cm
2

 Resposta : B

Gabrielly Carvalho Gabriella Alcantara & Dayane Lial Turma:1005

Exemplos de Esferas

Exemplo 1 
Uma esfera possui raio medindo 5 cm. Determine o volume dessa esfera. 



A esfera possui 523,33 cm³ de volume. 

Exemplo 2 
Duas esferas metálicas de raios r e 2r são fundidas e moldadas em forma de um cilindro de altura 3r. Qual é o raio R do cilindro?

Volume da esfera metálica de raio r


Volume da esfera metálica de raio 2r


Somar os volumes das esferas

 Volume do cilindro será igual ao volume das esferas.
Volume do cilindro = π * r² * h, onde altura igual a 3r. Vamos determinar o raio R do cilindro.

π * R² * 3r = 12 * π * r³
R² = 12 * r³ / 3r
R² = 4r²
R = 2r

Temos que o raio do cilindro é 2r. 

Exemplo 4 
Uma fábrica de bombons deseja produzir 20 000 unidades no formato de uma esfera de raio 1 cm. Determine o volume de cada bombom e a quantidade de chocolate necessária para produzir esse número de bombons.

Volume de cada bombom

A quantidade de chocolate necessária para a produção das 20 000 unidades é de:

4,18 * 20 000 = 83 600 cm³

Sabemos que 1cm³ = 1 ml, então 83 600 cm³ corresponde a 83 600 ml de chocolate ou 83,6 quilos.

A fábrica irá gastar 83,6 quilos de chocolate, e o volume de cada bombom será de 4,18 cm³.

Teoria de Esfera

onsideramos um ponto O e um segmento de medida r. Chama-se esfera de centro O e raio r o conjunto dos pontos P do espaço , tais que a distância OP seja menor ou igual a r. 

A esfera é o sólido de revolução gerado pela rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo que contém um diâmetro. 

Superfície esférica 
Superfície esférica de centro O e raio r é o conjunto dos pontos P do espaço que distam r do ponto o. 

A superfície gerada pela rotação de uma semicircunferência em torno de um eixo que contém o diâmetro é uma superfície esférica. 

Elementos da esfera 

Considerando a superfície de uma esfera de eixo e, temos: 

a) Pólos são as interseções da superfície com o eixo; 

b) Equador é a seção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície; 



c) Paralelo é qualquer seção (circunferência) perpendicular ao eixo; 

d) Meridiano é qualquer seção (circunferência) cujo plano passa pelo eixo.

Exercícios de Cones

Exemplos de Cones

I - Superfícies cônicas.

       Uma superfície cônica (cone generalizado) C é uma superfície gerada por uma reta r que se move ao longo de uma curva   e que passa por um ponto fixoV  fora da curva. A reta móvel é chamada de geratriz , a curva denominada de diretriz  e o ponto fixo de vértice  do cone. Portanto, um cone é a reunião de retas passando por pontos de uma curva   e por um ponto fixo V fora da curva  . O vértice separa cone em duas partes opostas pelo vértice, denominadas folhas e, usualmente, apresentamos apenas uma das folhas.Se a diretriz é um círculo, uma parábola, uma elipse ou uma hipérbole, então a superfície será, respectivamente, uma superfície cônica: circular, parabólica, elíptica ou hiperbólica.

Exemplo: Cone sobre um círculo

O cone circular reto de equação cartesiana   tem vértice na origem O(0,0,0) e, o círculo de equações reduzidas   ,   é uma de suas diretrizes.

Veja alguns exemplos nos links abaixo.

Exemplo 1

Exemplo 2

II - Equação cartesiana de um cone .

          A maneira de encontrar a equação cartesiana de um cone generalizado é parecida com a que foi usada no caso do cilindro. Elas dependem da maneira como a geratriz é fornecida (equação simétrica ou vetorial) e, também, da maneira como a diretriz é dada (por suas equações reduzidas ou uma parametrização).

A)   Diretriz d descrita por suas equações reduzidas.

        Seja   o vértice do cone e consideremos  o caso em que a diretriz é dada por suas equações reduzidas, ou seja, como a interseção de duas superfícies   e .   

Toda geratriz do cone  (reta) é dada na forma simétrica

(I)                     g :   =   =  ,

em que   é um ponto da diretriz, ou seja, suas coordenadas X, Y e Z satisafazem as equações

(II)                         :  ,

(III)                         :  ,

A geratriz também pode ser dada na forma vetorial

(IV)                        g:  (  ) =  = (X+at,Y+bt,Z+ct) .

em que  .

Um ponto   é um ponto do cone se, e somente se, P  é um ponto de alguma geratriz do cilindro. Ou seja, se e somente se suas coordenadas satisfazem simultaneamente as equações em (I), com as coordenadas de Q satisfazendo as equações (II) e (III). Isolando os valores de X, Y, e Z em três dessas equações e substituindo na quarta equação obtemos uma igualdade, envolvendo as variáveis espaciais x, y, z, que define a equação cartesiana do cone de diretriz d e vértice V . Uma outra maneira de proceder é usar as equações paramétricas abaixo, dadas pela igualdade (IV),

                           

                           

                           

isolar os valores de X, Y e Z substituindo-os nas igualdades (II) e (III). Eliminando (se possível) o parâmetro t nessas equações obtemos uma igualdade, envolvendo as variáveis espaciais x, y, z, que também define a equação cartesiana do cone de diretriz d e vértice V.

Veja alguns exemplos nos links abaixo.

Exemplo 3

Exemplo 4

B)   A diretriz d descrita por sua parametrização.

         Sejam     uma parametrização da diretriz e   o vértice do cone. Neste caso, um ponto Q(X,Y,Z)  é um ponto da diretriz do cone se suas coordenadas X , Y  e Z  são da forma:

(V)                        ,   e  ,

para algum valor do parâmetro u.

E toda geratriz g do cone (reta) é dada na forma simétrica por

(VI)                      g:   =   =  ,

em que   é um ponto da diretriz e   é o vetor diretor da geratriz que passa por  .

Um ponto   é um ponto do cone se, e somente se, P é um ponto de alguma geratriz do cone. Ou seja, se e somente se suas coordenadas satisfazem (VI) para algum valor do parâmetro u. Portanto, a substituição das igualdades    ,   e   em (IV) fornece três equações envolvendo u. Eliminado (se possível) o parâmetro u nestas equações, obtemos uma equação nas variáveis espaciais x, y e z chamada equação cartesiana do cone de diretriz d e vértice V .

Veja alguns exemplos nos links abaixo.

Exemplo 5

Exemplo 6

III - Reconhecimento de um cone.

         Veremos a seguir uma técnica de identificar alguns tipos especiais de cone. Ela funciona para aqueles que, mediante uma escolha adequada de um sistema de eixos cartesianos, são dados por  , onde F é uma função homogênea de grau dois. Ou seja, F é da forma

(VII)                        .

Primeiro, observamos que toda superfície S:  , onde F é homogênea de grau dois, é um cone com vértice na origem. De fato, dado a equação , temos que:

• a origem pertence à superfície representativa de (  , pois  ;
• Para todo ponto   de  a reta passando pela origem e por Q tem equação r: (x,y,z) = (0,0,0) +  . Logo, todo ponto dessa reta é da forma  . Assim, se   é um ponto da superfície, então para todo t. Portanto, S:   contém a reta passando por Q e pela origem.

Segue das informações acima que S é um cone com vértice na origem.

Quando uma superfície tem equação cartesiana da forma:

(VIII)               .=0,

podemos tentar realizar uma translação de eixos, mudando a origem para um ponto  , fazendo com que os termos de primeiro grau e o termo independente na equação (VIII) se anulem. A equação resultante nas novas variáveis  ,  ,   será evidentemente homogênea de grau dois e representará uma superfície cônica com vértice no ponto    .

Observação: Se existir uma tal translação, as coordenadas do vértice   serão solução do seguinte sistema:

                           = 0,

                           = 0,

                           = 0.

E, além disso, devemos ter a condição de compatibilidade  .

Veja alguns exemplos nos links abaixo.

Exemplo 7

Exemplo 8

IV - Equações paramétricas de um cone

          Consideremos uma curva diretriz parametrizada por  , u em J, e suponhamos que o vértice seja  . Então cada reta r que compõe C tem equação

                       r : (x,y,z)=R(v)=   +  =(1- v )(  )+v 

Assim, C é parametrizada em função de dois parâmetros u e v por:

                        X(u,v) = (1- v )(  )+v   em Jx  .

As três equações seguintes são chamadas equações paramétricas do cone C

                      x = x(u,v) = (1- v )  ,

                      y = y(u,v) = (1- v )  ,

                      z = z(u,v) =(1- v )  .