Exemplos de Cilindro

Em um cilindro circular reto, a área lateral é dada por A(lateral)=2pi.r.h, onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. A área total corresponde à soma da área lateral com o dobro da área da base.

A(total) = A(lateral) + 2 A(base) A(total) = 2 pi r h + 2 pi r² A(total) = 2 pi r(h+r)

Exemplo: Um cilindro circular equilátero é aquele cuja altura é igual ao diâmetro da base, isto é h=2r. Neste caso, para calcular a área lateral, a área total e o volume, podemos usar as fórmulas, dadas por:

A(lateral) = 4 pi r² A(base) = pi r² A(total) = A(lateral) + 2 A(base) = 6 pi r² Volume = A(base).h = pi r².2r = 2 pi r³

Exercício: Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm. Calcular a área lateral, área total e o seu volume.

A(base) = pi.r² = pi.2² = 4 pi cm²
A(lateral) = 2.pi.r.h = 2.pi.2.3 = 12 pi cm²
A(total) = A(lateral) + 2 A(base) = 12pi + 8pi = 20 pi cm²
Volume = A(base).h = pi.r²h = pi.4.3 = 12 pi cm³

I - Superfícies cilíndricas.

Definição: Uma superfície cilíndrica (ou cilindro generalizado) C  é uma superfície gerada por uma reta l  que se move ao longo de uma curva  , chamadadiretriz  do cilindro, de tal modo que ela sempre permanece paralela a uma reta fixa r  que denominamos eixo  do cilindro. Portanto, um cilindro é a reunião de retas paralelas a uma reta fixa r , passando por pontos de uma curva  , cada uma dessas retas pode ser chamada de geratriz do cilindro . Em particular, toda superfície cuja equação é da forma F(x,y,z)=0 , com solução em  , na qual aparecem apenas duas das variáveis espaciais x , y  e z  é um cilindro, cuja diretriz é uma curva no plano cartesiano determinado pelas duas variáveis que aparecem na equação e dada pela equação F(x,y,z)=0 . Suas geratrizes são paralelas ao eixo da variável que não aparece na equação.

Se a diretriz é um círculo, uma parábola, uma elipse ou uma hipérbole, então a superfície será, respectivamente, uma superfície cilíndrica circular, parabólica, elíptica ou hiperbólica.

Exemplo: Cilindro circular reto de eixo z C: 

Veja nos links abaixo alguns exemplos com a animação de suas construções.

Exemplo: Cilindro sobre uma senóide.

Exemplo: Cilindro sobre uma elipse.

II - Equação cartesiana de um cilindro.

        Existem "diferentes maneiras" de encontrar a equação cartesiana de uma superfície cilíndrica. Elas dependem da maneira como a geratriz é fornecida (equação simétrica, vetorial ou paramétrica) e, também, da maneira como a diretriz é dada (por suas equações reduzidas ou uma parametrização).

A)   A diretriz d descrita como sendo a interseção de duas superfícies

       Consideremos  o caso em que a diretriz é dada por suas equações reduzidas, ou seja, como a interseção de duas superfícies   e .   

        Toda geratriz do cilindro (reta) é dada na forma simétrica

(I)                     g :   =   =  ,

em que   é um ponto da diretriz, ou seja, suas coordenadas X, Y e Z satisafazem as equações

(II)                         :  ,

(III)                         :  ,

sendo W=(a,b,c)  a direção do eixo do cilindro. A geratriz também pode ser dada na forma vetorial

(IV)                        g:  (  ) =  = (X+at,Y+bt,Z+ct) .

Um ponto   é um ponto do cilindro se, e somente se, P  é um ponto de alguma geratriz do cilindro. Ou seja, se e somente se suas coordenadas satisfazem simultaneamente as equações em (I), com as coordenadas de Q satisfazendo as equações (II) e (III). Logo, temos um sistema de 4 equações independentes. Isolando os valores X , Y , e Z  em três dessas equações e substituindo na quarta equação obtemos uma igualdade, envolvendo as variáveis espaciaisx , y , z , chamada equação cartesiana do cilindro de diretriz d e geratriz  g.

        Uma outra maneira de proceder é substituir as coordenadas de Q , dadas pela igualdade (IV),

                        

                        

                          

  em (II) e (III). Eliminando (se possível) o parâmetro t  nessas equações obtemos uma igualdade, envolvendo as variáveis espaciais x, y, z, que também define a equação cartesiana do cilindro de diretriz d  e geratriz g .

Veja nos links abaixo alguns exemplos.

Exemplo 1

Exemplo 2

B)   A diretriz d descrita por sua parametrização

        Seja     uma parametrização da diretriz. Neste caso, um ponto Q(X,Y,Z)  é um ponto da diretriz se suas coordenadas X , Y  e Z são da forma:

(V)                        ,   e 

para algum valor do parâmetro u. E toda geratriz g do cilindro (reta) é da forma simétrica

(VI)                      g:   =   =   

em que   é um ponto da diretriz e W=(a,b,c)  é o vetor diretor do eixo do cilindro.

Um ponto   é um ponto do cilindro se, e somente se, P  é um ponto de alguma geratriz do cilindro. Portanto, a substituição das igualdades    ,   e   em (VI) fornecem três equações envolvendo u. Eliminado (se possível) o parâmetro u  nestas equações, obtemos uma equação nas variáveis espaciais x , y  e z  chamada  equação cartesiana do cilindro de diretriz d e geratriz  g.

Veja nos links abaixo alguns exemplos .

Exemplo 3

Exemplo 4

III - Reconhecimento de um cilindro.

        Se uma superfície   C: F(X,Y,Z)=0   é um cilindro  e se a interseção de um  plano    : aX+bY+cZ+d=0 com o cilindro não for uma de suas geratrizes, então a curva interseção é uma diretriz d  para o cilindro . Em particular, uma das seções sobre os planos coordenados deve ser uma diretriz para o cilindro. Suponhamos que a seção sobre o plano xy  (plano de equação z=0 ) seja uma diretriz. Neste caso, as equações reduzidas da diretriz são d : F(X,Y,Z)=0, Z=0 , e o cilindro tem como vetor diretor das geratrizes um certo vetor W=(a,b,c) , em que c  é não-nulo. Assim, podemos supor, sem perda de generalidade, W=(a,b,1) . Logo, os pontos P(x,y,z)  do cilindro são tais que suas coordenadas satisfazem as equações da geratriz g:  (  ) =  = (X+at,Y+bt,Z+ct), logo, temos

                       X=x-at, Y=y-bt  e Z=z-ct,

em que X , Y  e Z satisfazem as equações reduzidas da diretriz

                      F(X,Y,0)=0 e Z=0 .

Substituindo X, Y e Z  nessas equação obtemos uma igualdade envolvendo as coordenadas espaciais x , y  e z  de um ponto P(x,y,z)  de um cilindro que tem como diretriz a curva d  e como geratrizes retas paralelas ao vetor W . Ou seja, obtemos as equações da família de cilindros, dependente dos parâmetros a  e b  do vetorW , que têm como diretriz a curva d . Nosso cilindro é um elemento dessa família. Identificando os termos semelhantes dessa equação ("família de equações") com a equação inicial dada, esta representará um cilindro se for possível determinar valores compatíveis para os parâmetros a  e b .

Veja nos links abaixo alguns exemplos .

Exemplo 5

Exemplo 6

IV - Equações paramétricas de um cilindro.

        Consideremos uma curva diretriz parametrizada por  , u em J, e suponhamos que o vetor diretor da diretriz r é W=(a,b,c), então cada reta que compõe o cilindro C tem equação:

(V)                     g: (x,y,z)=r(v) =   + v.W.

Assim, C é parametrizado em função de dois parâmetros u e v por:

(VI)                      X(u,v) =   + v*W, (u,v) em Jx  .

As três equações x = x(u,v) =   + a.v, y = y(u,v) =   + b.v e z = z(u,v) =   + c.v são chamadas equações paramétricas do cilindro.