Exemplos de Cones

I - Superfícies cônicas.

       Uma superfície cônica (cone generalizado) C é uma superfície gerada por uma reta r que se move ao longo de uma curva   e que passa por um ponto fixoV  fora da curva. A reta móvel é chamada de geratriz , a curva denominada de diretriz  e o ponto fixo de vértice  do cone. Portanto, um cone é a reunião de retas passando por pontos de uma curva   e por um ponto fixo V fora da curva  . O vértice separa cone em duas partes opostas pelo vértice, denominadas folhas e, usualmente, apresentamos apenas uma das folhas.Se a diretriz é um círculo, uma parábola, uma elipse ou uma hipérbole, então a superfície será, respectivamente, uma superfície cônica: circular, parabólica, elíptica ou hiperbólica.

Exemplo: Cone sobre um círculo

O cone circular reto de equação cartesiana   tem vértice na origem O(0,0,0) e, o círculo de equações reduzidas   ,   é uma de suas diretrizes.

Veja alguns exemplos nos links abaixo.

Exemplo 1

Exemplo 2

II - Equação cartesiana de um cone .

          A maneira de encontrar a equação cartesiana de um cone generalizado é parecida com a que foi usada no caso do cilindro. Elas dependem da maneira como a geratriz é fornecida (equação simétrica ou vetorial) e, também, da maneira como a diretriz é dada (por suas equações reduzidas ou uma parametrização).

A)   Diretriz d descrita por suas equações reduzidas.

        Seja   o vértice do cone e consideremos  o caso em que a diretriz é dada por suas equações reduzidas, ou seja, como a interseção de duas superfícies   e .   

Toda geratriz do cone  (reta) é dada na forma simétrica

(I)                     g :   =   =  ,

em que   é um ponto da diretriz, ou seja, suas coordenadas X, Y e Z satisafazem as equações

(II)                         :  ,

(III)                         :  ,

A geratriz também pode ser dada na forma vetorial

(IV)                        g:  (  ) =  = (X+at,Y+bt,Z+ct) .

em que  .

Um ponto   é um ponto do cone se, e somente se, P  é um ponto de alguma geratriz do cilindro. Ou seja, se e somente se suas coordenadas satisfazem simultaneamente as equações em (I), com as coordenadas de Q satisfazendo as equações (II) e (III). Isolando os valores de X, Y, e Z em três dessas equações e substituindo na quarta equação obtemos uma igualdade, envolvendo as variáveis espaciais x, y, z, que define a equação cartesiana do cone de diretriz d e vértice V . Uma outra maneira de proceder é usar as equações paramétricas abaixo, dadas pela igualdade (IV),

                           

                           

                           

isolar os valores de X, Y e Z substituindo-os nas igualdades (II) e (III). Eliminando (se possível) o parâmetro t nessas equações obtemos uma igualdade, envolvendo as variáveis espaciais x, y, z, que também define a equação cartesiana do cone de diretriz d e vértice V.

Veja alguns exemplos nos links abaixo.

Exemplo 3

Exemplo 4

B)   A diretriz d descrita por sua parametrização.

         Sejam     uma parametrização da diretriz e   o vértice do cone. Neste caso, um ponto Q(X,Y,Z)  é um ponto da diretriz do cone se suas coordenadas X , Y  e Z  são da forma:

(V)                        ,   e  ,

para algum valor do parâmetro u.

E toda geratriz g do cone (reta) é dada na forma simétrica por

(VI)                      g:   =   =  ,

em que   é um ponto da diretriz e   é o vetor diretor da geratriz que passa por  .

Um ponto   é um ponto do cone se, e somente se, P é um ponto de alguma geratriz do cone. Ou seja, se e somente se suas coordenadas satisfazem (VI) para algum valor do parâmetro u. Portanto, a substituição das igualdades    ,   e   em (IV) fornece três equações envolvendo u. Eliminado (se possível) o parâmetro u nestas equações, obtemos uma equação nas variáveis espaciais x, y e z chamada equação cartesiana do cone de diretriz d e vértice V .

Veja alguns exemplos nos links abaixo.

Exemplo 5

Exemplo 6

III - Reconhecimento de um cone.

         Veremos a seguir uma técnica de identificar alguns tipos especiais de cone. Ela funciona para aqueles que, mediante uma escolha adequada de um sistema de eixos cartesianos, são dados por  , onde F é uma função homogênea de grau dois. Ou seja, F é da forma

(VII)                        .

Primeiro, observamos que toda superfície S:  , onde F é homogênea de grau dois, é um cone com vértice na origem. De fato, dado a equação , temos que:

• a origem pertence à superfície representativa de (  , pois  ;
• Para todo ponto   de  a reta passando pela origem e por Q tem equação r: (x,y,z) = (0,0,0) +  . Logo, todo ponto dessa reta é da forma  . Assim, se   é um ponto da superfície, então para todo t. Portanto, S:   contém a reta passando por Q e pela origem.

Segue das informações acima que S é um cone com vértice na origem.

Quando uma superfície tem equação cartesiana da forma:

(VIII)               .=0,

podemos tentar realizar uma translação de eixos, mudando a origem para um ponto  , fazendo com que os termos de primeiro grau e o termo independente na equação (VIII) se anulem. A equação resultante nas novas variáveis  ,  ,   será evidentemente homogênea de grau dois e representará uma superfície cônica com vértice no ponto    .

Observação: Se existir uma tal translação, as coordenadas do vértice   serão solução do seguinte sistema:

                           = 0,

                           = 0,

                           = 0.

E, além disso, devemos ter a condição de compatibilidade  .

Veja alguns exemplos nos links abaixo.

Exemplo 7

Exemplo 8

IV - Equações paramétricas de um cone

          Consideremos uma curva diretriz parametrizada por  , u em J, e suponhamos que o vértice seja  . Então cada reta r que compõe C tem equação

                       r : (x,y,z)=R(v)=   +  =(1- v )(  )+v 

Assim, C é parametrizada em função de dois parâmetros u e v por:

                        X(u,v) = (1- v )(  )+v   em Jx  .

As três equações seguintes são chamadas equações paramétricas do cone C

                      x = x(u,v) = (1- v )  ,

                      y = y(u,v) = (1- v )  ,

                      z = z(u,v) =(1- v )  .